0. Linear Algebra 개요

개요

Linear Algebra (선형대수학): 벡터와 행렬을 사용해 다차원 공간의 상태 변환과 기저 구조를 체계적으로 해석하는 수학.

선수과목

• 고등학교 대수학: 연립방정식, 다항식 등
• 고등학교 기하학: 평면 및 공간 좌표계 등

학습 로드맵 (임시, 수정 예정)

Phase 1: 벡터 (Vectors)

다차원 데이터를 표현하는 최소 단위와 그 연산 규칙을 규정한다.

• 1-1. 벡터
• 1-2. 선형결합
• 1-3. 내적

Phase 2: 선형 시스템의 해결 (Solving Linear Equations)

수많은 방정식을 $A\mathbf{X} = \mathbf{B}$라는 행렬 시스템으로 묶어 효율적으로 해결한다.

• 2-1. 벡터와 선형 방정식
• 2-2. 가우스 소거법
• 2-3. LU 분해
• 2-4. 역행렬
• 2-5. 전치행렬과 치환행렬

Phase 3: 벡터 공간과 부분 공간 (Vector Spaces & Subspaces)

연산이 닫혀 있는 공간을 규명한다.

• 3-1. 벡터 공간과 부분 공간
• 3-2. 일차독립, 기저, 차원
• 3-3. 영공간
• 3-4. 계수와 기약 행 사다리꼴(RREF)
• 3-5. 완전해
• 3-6. 행렬의 4대 부분 공간

Phase 4: 직교성 (Orthogonality)

직교성을 이용해 노이즈를 제거하고, 해가 없는 시스템에서 최적의 근사해를 도출한다.

• 4-1. 직교성과 직교 여공간
• 4-2. 투영
• 4-3. 그람-슈미트(Gram-Schmidt) 정규직교화
• 4-4. 최소제곱법

Phase 5: 선형 변환과 행렬식 (Transformations & Determinants)

행렬을 공간을 왜곡하는 함수로 재정의한다.

• 5-1. 선형 변환
• 5-2. 기저 변환
• 5-3. 행렬식
• 5-4. 여인수 전개와 소거법
• 5-5. Cramer’s Rule

Phase 6: 고윳값과 대각화 (Eigenvalues & Diagonalization)

변환 속에서도 방향이 변하지 않는 축을 찾아 거듭제곱 연산과 상태 전이를 고속화한다.

• 6-1. 고윳값과 고유벡터
• 6-2. 대각화
• 6-3. 닮음 행렬
• 6-4. 대칭 행렬
• 6-5. 양의 정부호 행렬
• 6-6. 마르코프 행렬

Phase 7: 특잇값 분해 (SVD)

임의의 직사각 행렬을 기하학적으로 분해한다.

• 7-1. 특잇값 분해
• 7-2. 의사역행렬
• 7-3. 주성분 분석(PCA)
• 7-4. 조건수

Phase 8: 복소 벡터와 복소 행렬 (Complex Vectors & Matrices)

실수 공간을 확장하여 파동, 진동, 양자 상태를 표현하는 영역을 다룬다.

• 8-1. 복소 벡터와 복소 내적
• 8-2. 에르미트(Hermitian) 행렬과 유니터리(Unitary) 행렬